Hexagonul regulat și proprietățile acestuia

Definiție și construcție

Un hexagon regulat este o figură plană care are șase laturi egale și unghiuri egale egale.

Dacă ne amintim formula pentru suma unghiurilor unui poligon

180 ° (n-2),

atunci se pare că în această figură este de 720 °. Deoarece toate unghiurile figurinei sunt egale, este ușor de calculat că fiecare dintre ele este egală cu 120 °.

Desenați un hexagon este foarte simplu, este suficient pentru busola și riglă.

O instrucțiune pas cu pas va arăta astfel:

1. Se trasează o linie dreaptă și se pune un punct pe ea;
2. din acest punct este construit un cerc (este centrul acestuia);
3. De la intersecția cercului cu linia sunt construite încă două, aceștia trebuie să se convertească în centru.
4. atunci toate punctele din primul cerc sunt conectate succesiv prin segmente.

Dacă se dorește, puteți face fără o linie, desenând cinci egale în raza cercurilor.

Cifra astfel obținută va fi un hexagon regulat, iar acest lucru poate fi demonstrat mai jos.

Proprietățile sunt simple și interesante

Pentru a înțelege proprietățile unui hexagon obișnuit, este logic să-l rupeți în șase triunghiuri:

Acest lucru va ajuta mai târziu să vizualizați vizual proprietățile sale, principalele din care:

1. diametrul cercului circumscris;
2. diametrul cercului inscripționat;
3. zonă;
4. perimetru.

Cercul circumscris și posibilitatea construirii

Aproximativ un hex poate descrie un cerc, și mai mult decât unul. Deoarece această cifră este corectă, este posibil să procedăm foarte simplu: de la cele două colțuri adiacente pentru a atrage bisectori înăuntru. Se intersectează în punctul O și formează împreună cu partea dintre ele un triunghi.

Unghiurile dintre partea hexagonului și bisectori vor fi 60 °, deci putem spune cu certitudine că un triunghi, de exemplu, este un triunghi isoscel. Și deoarece al treilea unghi este de asemenea egal cu 60 °, este de asemenea echilateral. Prin urmare, rezultă că segmentele OA și OB sunt egale, ceea ce înseamnă că ele pot servi drept raza unui cerc.

După aceasta, puteți merge la următoarea parte, iar din colțul din punctul C ieșiți și bisectrixul. Avem un alt triunghi echilateral, iar partea AB va fi comună pentru doi, iar OS - următoarea rază, prin care merge același cerc. În total, există șase astfel de triunghiuri și vor avea un vârf comun la punctul O. Se pare că puteți descrie cercul și este doar unul și raza sa este egală cu partea hexagonului:

R = a.

De aceea este posibil să construim această figură cu ajutorul unei busole și a unui conducător.

Zona acestui cerc va fi standard:

S = πR²

Cerc inscris

Centrul cercului circumscris va coincide cu centrul cercului inscripționat. Pentru a verifica acest lucru, se pot desena perpendiculare din punctul O în părțile laterale ale hexagonului. Acestea vor fi înălțimile acelor triunghiuri din care este compus hexul. Și într-un triunghi isoscel, înălțimea este medianul față de partea pe care se sprijină. Astfel, această înălțime nu este altceva decât perpendicularul mijlociu, care este raza cercului înscris.

Înălțimea unui triunghi echilateral este calculată pur și simplu:

h2 = a2- (a / 2) ² = a2 / 4, h = a (√3) / 2

Și din moment ce R = a și r = h, se dovedește că

r = R (√3) / 2.

Astfel, cercul înscris trece prin centrele laturilor hexagonului obișnuit.

Zona va fi:

S = 3πa² / 4,

care este de trei pătrimi din cele descrise.

Perimetrul și zona

Cu perimetrul, totul este clar, aceasta este suma lungimilor laturilor:

P = 6a, sau P = 6R

Dar zona va fi egală cu suma tuturor celor șase triunghiuri, pe care puteți rupe un hex. Deoarece aria triunghiului este calculată ca jumătate din produsul bazei cu înălțimea, atunci:

S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 sau

S = 3R2 (√3) / 2

Dacă doriți să calculați această zonă prin raza cercului inscripționat, puteți face acest lucru:

S = 3 (2r / √3) 2 (√3) / 2 = r² (2√3)

Amuzante în construcții

În hex, puteți introduce un triunghi, ale cărui laturi vor conecta vârfurile printr-o singură:

În total, vor fi doi, și se vor suprapune unul pe celălalt, vor da stea lui David. Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Acest lucru nu este greu de văzut. Dacă te uiți în partea UA, ea aparține deodată la două triunghiuri - YOU și AES. Dacă în prima dintre ele AB = BC și unghiul dintre ele este de 120 °, atunci fiecare dintre celelalte va fi de 30 °. Din aceasta putem trage concluzii logice:

1. Înălțimea ABC de la vârful B este egală cu jumătatea laturii hexagonului, deoarece sin30 ° = 1/2. Cei care doresc să fie convinși de acest lucru pot fi sfătuiți să țină cont de teorema lui Pitagora, este potrivit aici cât mai bine posibil.
2. Partea AS va fi egală cu două raze ale cercului înscris, care din nou este calculată de aceeași teoremă. Asta este, AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
3. Triunghiurile ABC, CDE și AEF sunt egale pe ambele părți, iar unghiul dintre acestea, și prin urmare, egalitatea laturilor AC, CE și EA urmează.

Trecând unul peste celălalt, triunghiurile formează un nou hexagon și este, de asemenea, corect. Acest lucru este dovedit simplu:

1. Unghiul ABF este egal cu unghiul BAC. Astfel, triunghiul rezultant cu baza AB si nodul nenumit, opus acestuia, este isoscele.
2. Toate aceleași triunghiuri, ale căror bază este partea hexagonului, sunt egale de-a lungul laturii și de colțurile adiacente acesteia.
3. Triunghiurile de la vârfurile hexajului sunt echilaterale și egale, care rezultă din punctul anterior.
4. Unghiurile hexagonului nou format sunt 360-120-60-60 = 120 °.

Astfel, cifra corespunde semnalelor unui hexagon obișnuit - are șase laturi și unghiuri egale. Din egalitatea triunghiurilor de la vârfuri, este ușor de dedus lungimea laturii noului hexagon:

d = a (√3) / 3

Va fi o rază a cercului circumscris în jurul lui. Raza inscripționată va fi jumătate față de cea a hexagonului mare, care a fost dovedită atunci când se ia în considerare triunghiul ABC. Înălțimea sa este doar jumătate din lateral, prin urmare, a doua jumătate este raza unui cerc înscris într-un mic hex:

r2 = a / 2

Zona noului hexagon poate fi calculată după cum urmează:

S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2

Se pare că zona hexagonală din interiorul stelei lui David este de trei ori mai mică decât cea mare în care este înscrisă steaua.

De la teorie la practică

Proprietățile hexagonului sunt utilizate foarte activ atât în ​​natură, cât și în diferite domenii ale activității umane. În primul rând, acest lucru se aplică șuruburilor și piulițelor - prima și a doua capace nu sunt altceva decât un hexagon obișnuit, dacă nu țineți cont de șuruburi. Dimensiunea cheilor corespunde diametrului cercului inscripționat - adică distanța dintre fețele opuse.

Și-a găsit folosința și plăcile hexagonale. Distribuția este mult mai puțin cvadrangulară, dar este mai convenabil să o punem: la un moment dat, trei dale sunt închise și nu patru. Compozițiile pot fi foarte interesante:

De asemenea, este disponibilă pavaj de beton pentru pavaj.

Prevalența hexagonului în natură este simplă. Astfel, cea mai ușoară cale este de a se potrivi cercurilor și bilelor pe plan, dacă au același diametru. Din acest motiv, albinele au o astfel de formă.